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最近我们被客户要求撰写关于Fama-French三因子模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。

本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，Fama-French三因子（因素）模型的实现和使用

(资料图片仅供参考)

具有单一市场因素的宏观经济因素模型

我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为

其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：

大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：

# 设置开始结束日期和股票名称列表

begin_date <- "2016-01-01"

end_date <- "2017-12-31"

# 从YahooFinance下载数据

data_set <- xts()

for(stock_index in1:length(stock_namelist))

data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],

from = begin_date, to = end_date,

head(data_set)

#> AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF

#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227

#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059

#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988

#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520

#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761

#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919

head(SP500_index)

#> index

#> 2016-01-04 2012.66

#> 2016-01-05 2016.71

#> 2016-01-06 1990.26

#> 2016-01-07 1943.09

#> 2016-01-08 1922.03

#> 2016-01-11 1923.67

plot(SP500_index)

# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子

X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

N <- ncol(X) # 股票数量

T <- nrow(X) # 天数

现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：

beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))

alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)

sigma2 <- rep(NA, N)

print(alpha)

#> index

#> AAPL 0.0003999086

#> AMD 0.0013825599

#> ADI 0.0003609968

#> ABBV 0.0006684632

#> AEZS -0.0022091301

#> A 0.0002810616

#> APD 0.0001786375

#> AA 0.0006429140

#> CF -0.0006029705

print(beta)

#> index

#> AAPL 1.0957919

#> AMD 2.1738304

#> ADI 1.2683047

#> ABBV 0.9022748

#> AEZS 1.7115761

#> A 1.3277212

#> APD 1.0239453

#> AA 1.8593524

#> CF 1.5702493

或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合，我们定义和扩展因子。然后最小化

t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)

#> alpha beta

#> AAPL 0.0003999086 1.0957919

#> AMD 0.0013825599 2.1738304

#> ADI 0.0003609968 1.2683047

#> ABBV 0.0006684632 0.9022748

#> AEZS -0.0022091301 1.7115761

#> A 0.0002810616 1.3277212

#> APD 0.0001786375 1.0239453

#> AA 0.0006429140 1.8593524

#> CF -0.0006029705 1.5702493

E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X)) # 残差

另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：

cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)

#> alpha index

#> AAPL 0.0003999086 1.0957919

#> AMD 0.0013825599 2.1738304

#> ADI 0.0003609968 1.2683047

#> ABBV 0.0006684632 0.9022748

#> AEZS -0.0022091301 1.7115761

#> A 0.0002810616 1.3277212

#> APD 0.0001786375 1.0239453

#> AA 0.0006429140 1.8593524

#> CF -0.0006029705 1.5702493

可视化协方差矩阵

有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：

main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")

点击标题查阅往期内容

Python基于粒子群优化的投资组合优化研究

左右滑动查看更多

01

02

03

04

我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：

plot(cov2cor(Psi),

main = "残差协方差矩阵")

cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业

#> stock_namelist sector_namelist

#> [1,] "AAPL" "Information Technology"

#> [2,] "AMD" "Information Technology"

#> [3,] "ADI" "Information Technology"

#> [4,] "ABBV" "Health Care"

#> [5,] "AEZS" "Health Care"

#> [6,] "A" "Health Care"

#> [7,] "APD" "Materials"

#> [8,] "AA" "Materials"

#> [9,] "CF" "Materials"

有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：

我们首先加载数据：

# 设置开始结束日期和股票名称列表

begin_date <- "2016-10-01"

end_date <- "2017-06-30"

# 从YahooFinance下载数据

data_set <- xts()

for(stock_index in1:length(stock_namelist))

data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],

head(data_set)

#> SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD

#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765

#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081

#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421

#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826

#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296

#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978

head(SP500_index)

#> index

#> 2016-10-03 2161.20

#> 2016-10-04 2150.49

#> 2016-10-05 2159.73

#> 2016-10-06 2160.77

#> 2016-10-07 2153.74

#> 2016-10-10 2163.66

# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子

X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

N <- ncol(X) # 股票数量

T <- nrow(X) # 天数

现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：

#> alpha beta

#> SPY 7.142225e-05 1.0071424

#> XIVH 1.810392e-03 2.4971086

#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533

#> SPLV 1.070918e-04 0.6777149

#> USMV 1.166177e-04 0.6511667

#> JKD 2.569578e-04 0.8883843

现在可以进行一些观察：

SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。 XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）：α= 1.810392×10-3。 SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。 SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。 USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。 JKD显示出很好的折衷。

我们可以使用一些可视化：

barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型

我们获得

夏普比率如下：

假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：

print(ranking)

#> alpha/beta SR alpha beta

#> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086

#> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843

#> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667

#> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149

#> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424

#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

可以看到：

就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。 JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。 XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。 USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：

# 设置开始结束日期和股票名称列表

begin_date <- "2013-01-01"

end_date <- "2017-08-31"

# 从YahooFinance下载数据

data_set <- xts()

for(stock_index in1:length(stock_namelist))

data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],

# 下载Fama-French因子

head(fama_lib)

#> Mkt.RF SMB HML

#> 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28

#> 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08

#> 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35

#> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03

#> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15

#> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56

tail(fama_lib)

#> Mkt.RF SMB HML

#> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04

#> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44

#> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03

#> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84

#> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45

#> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50

# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子

X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

N <- ncol(X) #股票数量

现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型，其中现在的载荷是一个beta矩阵：。我们可以做最小二乘拟合，最小化。更方便地，我们定义和扩展因子 。然后可以将LS公式写为最小化

print(Gamma)

#> alpha b1 b2 b3

#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858

#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117

#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271

#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627

#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182

#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290

#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938

#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692

#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523

另外，我们可以使用R完成：

#> alpha Mkt.RF SMB HML

#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858

#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117

#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271

#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627

#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182

#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290

#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938

#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692

#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523

统计因子模型

现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

PCA： 样本均值： 矩阵： 样本协方差矩阵： 特征分解： 估计： 更新特征分解： 重复步骤2-3，直到收敛为止。

#> alpha

#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226

#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515

#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139

#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810

#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473

#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654

#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394

#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957

#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同样，我们可以使用R完成工作：

#> alpha factor1 factor2 factor3

#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226

#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515

#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139

#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810

#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473

#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654

#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394

#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957

#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较

我们最终将比较以下不同的因子模型：

样本协方差矩阵 宏观经济一因素模型 基本的三因素Fama-French模型 统计因素模型

我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：

加载训练和测试集：

# 设置开始结束日期和股票名称列表

begin_date <- "2013-01-01"

end_date <- "2015-12-31"

# 准备股票数据

data_set <- xts()

for(stock_index in1:length(stock_namelist))

data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],

# Fama-French 因子

mydata <- mydata[-nrow(mydata),

# 准备指数

f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)

# 将数据拆分为训练数据和测试数据

T_trn <- round(0.45*T)

X_trn <- X[1:T_trn, ]

X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：

# 样本协方差矩阵

Sigma_SCM <- cov(X_trn)

# 单因素模型

Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))

E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))

# Fama-French三因子模型

Sigma_FamaFrench <- B%*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))

# 统计单因子模型

while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

B<- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)

# 统计三因子模型

K <- 3

while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

B<- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)

Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

Sigma_PCA3 <- Sigma

# 统计五因子模型

K <- 5

eigSigma <- eigen(Sigma)

while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

B<- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)

Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最后，让我们比较测试数据中的不同估计：

Sigma_true <- cov(X_tst)

barplot(error, main = "协方差矩阵估计误差",

PRIAL <- 100*(ref- error^2)/ref

barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估计的先验方法",

最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。

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本文选自《R语言Fama-French三因子模型实际应用：优化投资组合》。

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使用Python和Keras进行主成分分析、神经网络构建图像重建

R语言中的岭回归、套索回归、主成分回归：线性模型选择和正则化

关键词： 因子模型 协方差矩阵 投资组合